Mongol Potential
ЭЕШ · Суралцах · 382 бодлого

Алгебр

Рационал илэрхийлэл

01 · Зорилго

Энэ хичээлийн дараа та рационал илэрхийллийг хялбарчилж, утгыг нь олж, тодорхойлогдох мужийг (хуваагч тэг болохгүй нөхцөл) зөв тооцож чадна.

02 · Үзэл баримтлал

Рационал илэрхийлэл гэдэг нь хоёр олон гишүүнтийн харьцаа — өөрөөр хэлбэл P(x)Q(x)\dfrac{P(x)}{Q(x)} хэлбэрийн бутархай юм. Жирийн бутархайтай адил хялбарчлах, нэмэх, хасах, үржих, хуваах боломжтой.

Хамгийн чухал алхам нь хүртвэр, хуваарийг үржвэрт задлаад (factor) ижил үржигдэхүүнийг хураах. Ингэснээр илэрхийлэл богиносч, утгыг олоход хялбар болно.

Гэхдээ хуваагч хэзээ ч тэг болж болохгүй. Тийм учраас хялбарчилсан ч анхны хуваарийг тэгтэй тэнцүүлсэн xx-ийн утгуудыг хасч тодорхойлогдох мужийг бичих ёстой.

Гол санаа

Эхлээд задал, дараа нь хура, эцэст нь хуваагч ≠0\neq 0 нөхцөлийг бич. Энэ гурван алхам бараг бүх рационал бодлогыг шийднэ.

03 · Томьёо ба тодорхойлолт

Бутархайн хялбарчлал

a⋅cb⋅c=ab (c≠0)\dfrac{a\cdot c}{b\cdot c} = \dfrac{a}{b}\ (c\neq 0)

Хүртвэр, хуваарь дахь ижил үржигдэхүүнийг л хурааж болно — нэмэгдэж байгаа гишүүнийг хураахгүй.

Ялгаврын квадрат

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Хуваарийн ялгаврын квадратыг задлахад ихэвчлэн хүртвэртэй нийтлэг үржигдэхүүн гарч хураагдана.

Бутархай нэмэх

ab+cd=ad+bcbd\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}

Ерөнхий хуваарь олж нэмнэ; үр дүнг дахин хялбарчлахаа бүү мартаарай.

Бутархайд хуваах

ab:cd=ab⋅dc\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}

Хуваах гэдэг нь урвуугаар үржих. Зөвхөн хоёр дахь бутархайг урвуулна.

04 · Бодсон жишээ
01хялбарrational_expression
x2+3xx2−4⋅x+2x−x+32x−4\frac{x^2+3x}{x^2-4}\cdot\frac{x+2}{x}-\frac{x+3}{2x-4} илэрхийллийг хялбарчил.

Эхлээд хуваарь бүрийг задал: x2−4=(x−2)(x+2)x^2-4=(x-2)(x+2), 2x−4=2(x−2)2x-4=2(x-2). Ингэснээр ижил үржигдэхүүн харагдана.

Бодолт. x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2) тул эхний хэсэг x(x+3)(x−2)(x+2)⋅x+2x=x+3x−2\frac{x(x+3)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x+3}{x-2} болно. Эндээс x+3x−2−x+32(x−2)=2(x+3)−(x+3)2(x−2)=x+32(x−2)\frac{x+3}{x-2} - \frac{x+3}{2(x-2)} = \frac{2(x+3) - (x+3)}{2(x-2)} = \frac{x+3}{2(x-2)} гэж олдоно. Хариу: A.
02хялбарrational_expression
x2+5xx2−9x+14×x−2x+x7−x\frac{x^2+5x}{x^2-9x+14} \times \frac{x-2}{x} + \frac{x}{7-x} илэрхийллийг хялбарчлаарай.

x2−9x+14=(x−2)(x−7)x^2-9x+14=(x-2)(x-7) гэж задлаад 7−x=−(x−7)7-x=-(x-7) гэдгийг анзаар — тэмдэг солих нь энд гол.

Бодолт. x2−9x+14=(x−2)(x−7)x^2 - 9x + 14 = (x-2)(x-7) задралыг ашиглавал x(x+5)(x−2)(x−7)⋅x−2x=x+5x−7\frac{x(x+5)}{(x-2)(x-7)} \cdot \frac{x-2}{x} = \frac{x+5}{x-7} болно. Эндээс x+5x−7+x7−x=x+5x−7−xx−7=5x−7\frac{x+5}{x-7} + \frac{x}{7-x} = \frac{x+5}{x-7} - \frac{x}{x-7} = \frac{5}{x-7} гэж олдоно. Хариу: B.
03хүндrational_expression
(2x−2+x2−6xx2−4)÷2x−4x2−x−6\left(\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{x^2-6x}{x^2-4}\right)\div\dfrac{2x-4}{x^2-x-6} илэрхийллийг хялбарчлаарай.

Хамгийн нийлмэл нь: эхний хаалтыг ерөнхий хуваарьт оруулж нэмээд, дараа нь хуваахыг урвуугаар үржих болго.

Бодолт. Эхний хэсгийг хялбарчилбал 2(x+2)+x(x−6)(x−2)(x+2)=x2−4x+4(x−2)(x+2)=(x−2)2(x−2)(x+2)=x−2x+2\dfrac{2(x+2) + x(x-6)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x-2}{x+2}. Хуваагч 2(x−2)(x−3)(x+2)\dfrac{2(x-2)}{(x-3)(x+2)}, иймд үржвэр x−2x+2⋅(x−3)(x+2)2(x−2)=x−32\dfrac{x-2}{x+2} \cdot \dfrac{(x-3)(x+2)}{2(x-2)} = \dfrac{x-3}{2} болно. Хариу: D.
06 · Өөрөө бод
01x2+3xx2−4−x+2x−x+32x−4\frac{x^2+3x}{x^2-4} - \frac{x+2}{x} - \frac{x+3}{2x-4} илэрхийллийг хялбарчил.
02x=10x = 10, y=1y = 1 үед илэрхийллийн утгыг ол. 5x−5yx2+4xy−5y2\dfrac{5x - 5y}{x^2 + 4xy - 5y^2}
03x=5x = 5, y=−3y = -3 үед илэрхийллийн утгыг олоорой. 5x+5yx2−4xy−5y2=\dfrac{5x + 5y}{x^2 - 4xy - 5y^2} =
04x=10x = 10, y=1y = 1 үед илэрхийллийн утгыг олоорой. 5x−5yx2+4xy−5y2=\dfrac{5x - 5y}{x^2 + 4xy - 5y^2} =
05Тэгээс ялгаатай aa, bb тоонуудад a2=b3\dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} бол 3a−ba+2b\dfrac{3a - b}{a + 2b} утгыг олоорой.
06Тэгээс ялгаатай aa, bb тоонуудад a3=b4\frac{a}{3}=\frac{b}{4} бол 4a−ba+3b\frac{4a-b}{a+3b} утгыг олоорой.
Цааш нь

Энэ сэдвээр илүү дадлага хийх