ЭШ · Суралцах · 462 бодлого
Algebra Тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш
The heaviest-weighted topic on the exam. Equations and inequalities, systems, polynomial identities and factoring, quadratics by every method, rational expressions with their forbidden values, and radical manipulation — each unit feeds the next, so the order matters.
Сургалтын хөтөлбөр (БСШУСЯ, А/492): 10.2, 10.5, 11.1, 11.2, 12.1, 12.2
01 · Курс
8 нэгжээс 8 нь бэлэн — хичээл, дадлага, өөрийгөө шалгах тесттэй. Хичээлүүд одоогоор англи хэлээр; монгол орчуулга дараа нэмэгдэнэ.
01 Solving Linear Equations From one-step equations to variables on both sides, fractions, special cases, and rearranging formulas — the balance-scale logic that runs all of algebra. Start 02 Linear Inequalities Solving and graphing inequalities, the negative-flip rule, compound 'and/or' conditions, and absolute-value equations — algebra for ranges instead of single answers. Start 03 Systems of Equations Two conditions, two unknowns: solving systems by graphing, substitution, and elimination, choosing the right tool, and reading no-solution and infinite cases. Start 04 Polynomials & Factoring Adding, subtracting and multiplying polynomials, the special products, and factoring — GCF, trinomials, and the difference of squares — multiplication run forwards and backwards. Start 05 Quadratic Equations & Functions Parabolas and their anatomy, solving by factoring and square roots, completing the square, the quadratic formula, and the discriminant — the algebra of curved change. Start 06 Rational Expressions & Equations Simplifying, multiplying, and adding algebraic fractions; solving rational equations and spotting excluded values. Start 07 Radicals & Rational Exponents Fractional powers as roots, radical arithmetic without fear, equations that manufacture phantom solutions, and inverse functions — the door logarithms walk through next unit. Start 08 Systems & Nonlinear Models Two equations, one answer: linear systems at full speed, three-variable elimination, curves meeting lines, and feasible regions with the corner principle — algebra as negotiation. Start 03 · Зорилго
Энэ хичээлийн дараа та рационал илэрхийллийг хялбарчилж, утгыг нь олж, тодорхойлогдох мужийг (хуваагч тэг болохгүй нөхцөл) зөв тооцож чадна.
04 · Үзэл баримтлал
Рационал илэрхийлэл гэдэг нь хоёр олон гишүүнтийн харьцаа — өөрөөр хэлбэл P ( x ) Q ( x ) \dfrac{P(x)}{Q(x)} Q ( x ) P ( x ) хэлбэрийн бутархай юм. Жирийн бутархайтай адил хялбарчлах, нэмэх, хасах, үржих, хуваах боломжтой.
Хамгийн чухал алхам нь хүртвэр, хуваарийг үржвэрт задлаад (factor) ижил үржигдэхүүнийг хураах. Ингэснээр илэрхийлэл богиносч, утгыг олоход хялбар болно.
Гэхдээ хуваагч хэзээ ч тэг болж болохгүй. Тийм учраас хялбарчилсан ч анхны хуваарийг тэгтэй тэнцүүлсэн x x x -ийн утгуудыг хасч тодорхойлогдох мужийг бичих ёстой.
Гол санаа
Эхлээд задал, дараа нь хура, эцэст нь хуваагч ≠ 0 \neq 0 = 0 нөхцөлийг бич. Энэ гурван алхам бараг бүх рационал бодлогыг шийднэ.
05 · Томьёо ба тодорхойлолт
Бутархайн хялбарчлал
a ⋅ c b ⋅ c = a b ( c ≠ 0 ) \dfrac{a\cdot c}{b\cdot c} = \dfrac{a}{b}\ (c\neq 0) b ⋅ c a ⋅ c = b a ( c = 0 ) Хүртвэр, хуваарь дахь ижил үржигдэхүүнийг л хурааж болно — нэмэгдэж байгаа гишүүнийг хураахгүй.
Ялгаврын квадрат
a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) a^2-b^2=(a-b)(a+b) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) Хуваарийн ялгаврын квадратыг задлахад ихэвчлэн хүртвэртэй нийтлэг үржигдэхүүн гарч хураагдана.
Бутархай нэмэх
a b + c d = a d + b c b d \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd} b a + d c = b d a d + b c Ерөнхий хуваарь олж нэмнэ; үр дүнг дахин хялбарчлахаа бүү мартаарай.
Бутархайд хуваах
a b : c d = a b ⋅ d c \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c} b a : d c = b a ⋅ c d Хуваах гэдэг нь урвуугаар үржих. Зөвхөн хоёр дахь бутархайг урвуулна.
06 · Бодсон жишээ
01 хялбар rational_expression
x 2 + 3 x x 2 − 4 ⋅ x + 2 x − x + 3 2 x − 4 \frac{x^2+3x}{x^2-4}\cdot\frac{x+2}{x}-\frac{x+3}{2x-4} x 2 − 4 x 2 + 3 x ⋅ x x + 2 − 2 x − 4 x + 3 илэрхийллийг хялбарчил. Эхлээд хуваарь бүрийг задал: x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) x^2-4=(x-2)(x+2) x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) , 2 x − 4 = 2 ( x − 2 ) 2x-4=2(x-2) 2 x − 4 = 2 ( x − 2 ) . Ингэснээр ижил үржигдэхүүн харагдана.
Бодолт. x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) x^2 - 4 = (x-2)(x+2) x 2 − 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) тул эхний хэсэг
x ( x + 3 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ⋅ x + 2 x = x + 3 x − 2 \frac{x(x+3)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+2}{x} = \frac{x+3}{x-2} ( x − 2 ) ( x + 2 ) x ( x + 3 ) ⋅ x x + 2 = x − 2 x + 3
болно. Эндээс
x + 3 x − 2 − x + 3 2 ( x − 2 ) = 2 ( x + 3 ) − ( x + 3 ) 2 ( x − 2 ) = x + 3 2 ( x − 2 ) \frac{x+3}{x-2} - \frac{x+3}{2(x-2)} = \frac{2(x+3) - (x+3)}{2(x-2)} = \frac{x+3}{2(x-2)} x − 2 x + 3 − 2 ( x − 2 ) x + 3 = 2 ( x − 2 ) 2 ( x + 3 ) − ( x + 3 ) = 2 ( x − 2 ) x + 3
гэж олдоно. Хариу: A . 02 хялбар rational_expression
x 2 + 5 x x 2 − 9 x + 14 × x − 2 x + x 7 − x \frac{x^2+5x}{x^2-9x+14} \times \frac{x-2}{x} + \frac{x}{7-x} x 2 − 9 x + 14 x 2 + 5 x × x x − 2 + 7 − x x илэрхийллийг хялбарчлаарай. x 2 − 9 x + 14 = ( x − 2 ) ( x − 7 ) x^2-9x+14=(x-2)(x-7) x 2 − 9 x + 14 = ( x − 2 ) ( x − 7 ) гэж задлаад 7 − x = − ( x − 7 ) 7-x=-(x-7) 7 − x = − ( x − 7 ) гэдгийг анзаар — тэмдэг солих нь энд гол.
Бодолт. x 2 − 9 x + 14 = ( x − 2 ) ( x − 7 ) x^2 - 9x + 14 = (x-2)(x-7) x 2 − 9 x + 14 = ( x − 2 ) ( x − 7 ) задралыг ашиглавал
x ( x + 5 ) ( x − 2 ) ( x − 7 ) ⋅ x − 2 x = x + 5 x − 7 \frac{x(x+5)}{(x-2)(x-7)} \cdot \frac{x-2}{x} = \frac{x+5}{x-7} ( x − 2 ) ( x − 7 ) x ( x + 5 ) ⋅ x x − 2 = x − 7 x + 5
болно. Эндээс
x + 5 x − 7 + x 7 − x = x + 5 x − 7 − x x − 7 = 5 x − 7 \frac{x+5}{x-7} + \frac{x}{7-x} = \frac{x+5}{x-7} - \frac{x}{x-7} = \frac{5}{x-7} x − 7 x + 5 + 7 − x x = x − 7 x + 5 − x − 7 x = x − 7 5
гэж олдоно. Хариу: B . 03 хүнд rational_expression
( 2 x − 2 + x 2 − 6 x x 2 − 4 ) ÷ 2 x − 4 x 2 − x − 6 \left(\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{x^2-6x}{x^2-4}\right)\div\dfrac{2x-4}{x^2-x-6} ( x − 2 2 + x 2 − 4 x 2 − 6 x ) ÷ x 2 − x − 6 2 x − 4 илэрхийллийг хялбарчлаарай. Хамгийн нийлмэл нь: эхний хаалтыг ерөнхий хуваарьт оруулж нэмээд, дараа нь хуваахыг урвуугаар үржих болго.
Бодолт. Эхний хэсгийг хялбарчилбал 2 ( x + 2 ) + x ( x − 6 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) = x 2 − 4 x + 4 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = ( x − 2 ) 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = x − 2 x + 2 \dfrac{2(x+2) + x(x-6)}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \dfrac{x-2}{x+2} ( x − 2 ) ( x + 2 ) 2 ( x + 2 ) + x ( x − 6 ) = ( x − 2 ) ( x + 2 ) x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) 2 = x + 2 x − 2 . Хуваагч 2 ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x + 2 ) \dfrac{2(x-2)}{(x-3)(x+2)} ( x − 3 ) ( x + 2 ) 2 ( x − 2 ) , иймд үржвэр x − 2 x + 2 ⋅ ( x − 3 ) ( x + 2 ) 2 ( x − 2 ) = x − 3 2 \dfrac{x-2}{x+2} \cdot \dfrac{(x-3)(x+2)}{2(x-2)} = \dfrac{x-3}{2} x + 2 x − 2 ⋅ 2 ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x + 2 ) = 2 x − 3 болно. Хариу: D . 07 · Өөрөө бод
01 x 2 + 3 x x 2 − 4 − x + 2 x − x + 3 2 x − 4 \frac{x^2+3x}{x^2-4} - \frac{x+2}{x} - \frac{x+3}{2x-4} x 2 − 4 x 2 + 3 x − x x + 2 − 2 x − 4 x + 3 илэрхийллийг хялбарчил. 02 x = 10 x = 10 x = 10 , y = 1 y = 1 y = 1 үед илэрхийллийн утгыг ол. 5 x − 5 y x 2 + 4 x y − 5 y 2 \dfrac{5x - 5y}{x^2 + 4xy - 5y^2} x 2 + 4 x y − 5 y 2 5 x − 5 y 03 x = 5 x = 5 x = 5 , y = − 3 y = -3 y = − 3 үед илэрхийллийн утгыг олоорой. 5 x + 5 y x 2 − 4 x y − 5 y 2 = \dfrac{5x + 5y}{x^2 - 4xy - 5y^2} = x 2 − 4 x y − 5 y 2 5 x + 5 y = 04 x = 10 x = 10 x = 10 , y = 1 y = 1 y = 1 үед илэрхийллийн утгыг олоорой. 5 x − 5 y x 2 + 4 x y − 5 y 2 = \dfrac{5x - 5y}{x^2 + 4xy - 5y^2} = x 2 + 4 x y − 5 y 2 5 x − 5 y = 05 Тэгээс ялгаатай a a a , b b b тоонуудад a 2 = b 3 \dfrac{a}{2} = \dfrac{b}{3} 2 a = 3 b бол 3 a − b a + 2 b \dfrac{3a - b}{a + 2b} a + 2 b 3 a − b утгыг олоорой. 06 Тэгээс ялгаатай a a a , b b b тоонуудад a 3 = b 4 \frac{a}{3}=\frac{b}{4} 3 a = 4 b бол 4 a − b a + 3 b \frac{4a-b}{a+3b} a + 3 b 4 a − b утгыг олоорой. Цааш нь
Энэ сэдвээр илүү дадлага хийх